럭키즈에 새로이 도입된, '복권 불리기' 게임.
복권 불리기는 다른 게임과 다르게 손해를 볼 수 있는 게임이다. 운 좋게 3연승으로 24장을 확보하고도 괜히 욕심을 더 냈다가 다 잃기도 하고, 때로는 첫 판부터 패배만 반복해서 최대 15장의 손해를 볼 수도 있다.
스트레스는 스트레스 대로 쌓이고 복권은 복권대로 잃고, 과연 플레이를 계속하는 게 이득일지 궁금해진다.
복권 불리기, 해야 하나 말아야 하나?
결론부터 말하자면, 복권 불리기의 기대 수익은 수학적으로 0으로서 장기적으로는 손해도 이득도 없다.
따라서, 스릴을 즐기거나 하이리스크-하이리턴을 좋아하는 경우가 아니라면, 소요되는 시간과 감정 비용을 감안해서 하지 않는 편이 낫다.
◆ 기대 수익 계산
1. 보상 구조
복권 3장을 배팅할 경우,
A. 패배 시: -3 (배팅값)
B. k번 연승하고 멈출 때 얻는 순수익: Sk = 3⋅2k - 3 = 3(2k - 1)
→ S1 = 3, S2 = 9, S3 = 21, S4 = 45, S5 = 93
C. 비기면 승패가 결정 날 때까지 가위바위보를 반복 → 한 판의 승리 확률 = 1/2
2. 첫 번째 판의 기대 수익
A. 승리 시(확률 1/2): +3
B. 패배 시(확률 1/2): -3
따라서, 기대 수익 = 1/2⋅(+3) + 1/2⋅(-3) = 0
3. 멈춤 vs 계속 진행 시 기대 수익
k번 연승한 상태일 경우,
A. 멈출 경우: Sk 획득
B. 계속할 경우 기댓값: Ck = 1/2Sk+1 + 1/2(-3)
→ C1 = 3, C2 = 9, C3 = 21, C4 = 45
Sk > Ck면 멈추는 것이 이익이고, Sk < Ck면 계속하는 것이 이익이지만, 복권 불리기의 경우, 모든 단계에서 Sk = Ck 이므로, 멈추는 것과 계속하는 것의 기대 수익이 동일.
예를 들어 1승을 했을 경우, 멈추면 +3을 확정적으로 획득하고, 그다음 단계로 도전해도 기대할 수 있는 평균 수익은 지금 확정적으로 얻을 수 있는 수익과 동일한 +3이라는 의미.
4. k번째 연승에서의 기대 수익
A. k번 연승하고 얻는 순수익: Sk
B. 승패 확률: 1/2k
→ k번째 연승에서의 기대 수익 = 1/2k⋅Sk + (1 - 1/2k)⋅(-3) = -3 + 1/2k(Sk + 3) = -3 +1/2k{3(2k - 1) + 3} = -3 + 3 = 0
즉, 몇 연승을 달성해도 기대 수익은 0이다.
예를 들어, 적은 확률로 5연승을 하여 93장의 수익을 얻을 수도 있겠지만, 그 전후로 3장을 잃는 경험을 31번 한다는 의미.
◆ 결론
기대 수익이란 무수히 많은 시행을 할 경우를 상정한다. 기대 수익이 0이라는 점이 보기엔 안전하고 무해해 보일 수 있더라도, 단기적으로는 대부분의 시도에서 3장의 손해를 보며 끝나기 때문에 심리적, 수익적으로 부담이 클 수 있다.
재미로 한 두 번 도전하더라도, 수학적으로 2연승을 하려면 3연패를, 3연승은 7연패 정도는 각오해야 하기 때문에 1~2연승에서 멈추는 것이 안전하다.
※ 표기 오류
1. 현재 복권 불리기 5차례 도전 종료 후 버튼에 표시되는 최종 획득 수량엔 패배 결과와 승리 시의 배팅값은 제외되지 않는 오류가 있다.
가령 계속적으로 3장을 배팅해서, 3연승 후 멈춤 한 번과 4차례의 패배를 하여 "-3 / -3 / -3 / +21 / -3"의 순이익을 얻은 경우 최종 순이익은 +9지만 표기는 2연승 순이익(+21)에 배팅값(+3)이 포함되어 "24장 받음"으로 표기된다.
2. 패배 후 중간에 메뉴로 빠져나오면 3장만 줄어야 할 것이 9장이 준다거나 11장이 줄기도 하는 등 일시적 표기 오류가 있다. 다음 게임을 진행하거나 화면 전환이 이루어지면 정상값으로 보정이 된다.
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